Οι επιλογές αποτίμησης μπορεί να είναι μια δύσκολη επιχείρηση. Σκεφτείτε το ακόλουθο σενάριο: Τον Ιανουάριο του 2015, η μετοχή της IBM διαπραγματεύεται στα 155 δολάρια και αναμένετε ότι θα αυξηθεί κατά το επόμενο έτος. Σκοπεύετε να αγοράσετε μια επιλογή κλήσης στο απόθεμα της IBM με τιμή άσκησης ATM $ 155, αναμένοντας να επωφεληθείτε από υψηλά ποσοστά απόδοσης, με βάση ένα μικρό κόστος προαίρεσης (premium premium), σε σύγκριση με την αγορά μετοχών με υψηλή τιμή αγοράς.
Ποια θα πρέπει να είναι η εύλογη αξία αυτής της επιλογής κλήσης στην IBM;
Σήμερα, υπάρχουν διαθέσιμες μερικές διαφορετικές έτοιμες μέθοδοι για τις επιλογές αξίας - συμπεριλαμβανομένου του μοντέλου Black-Scholes και του διωνυμικού δέντρου - το οποίο μπορεί να προσφέρει γρήγορες απαντήσεις. Αλλά ποιοι είναι οι βασικοί παράγοντες και οι έννοιες οδήγησης για να φτάσουμε σε τέτοια μοντέλα αποτίμησης; Μπορεί να προετοιμαστεί κάτι παρόμοιο, με βάση την έννοια αυτών των μοντέλων;
Εδώ, καλύπτουμε τα δομικά στοιχεία, τις βασικές έννοιες και τους παράγοντες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως πλαίσιο για την οικοδόμηση ενός μοντέλου αποτίμησης για ένα περιουσιακό στοιχείο όπως οι επιλογές, παρέχοντας μια παράλληλη σύγκριση με την προέλευση του Black-Scholes (BS) μοντέλο.
Ο κόσμος πριν από την Black-Scholes
Πριν από τη Black-Scholes, βασίστηκε ευρέως το μοντέλο τιμολόγησης ενεργητικού κεφαλαίου βασισμένο σε ισορροπία (CAPM). Οι αποδόσεις και οι κίνδυνοι ήταν ισορροπημένοι μεταξύ τους, με βάση την προτίμηση του επενδυτή, δηλαδή αναμένεται ότι ένας επενδυτής που αναλαμβάνει υψηλό ρίσκο αναμένεται να αντισταθμιστεί (με το δυναμικό) υψηλότερων αποδόσεων σε παρόμοιο ποσοστό.
Το μοντέλο BS βρίσκει τις ρίζες του στο CAPM. Σύμφωνα με τον Fisher Black: «Εφαρμόσαμε το μοντέλο τιμολόγησης περιουσιακών στοιχείων σε κάθε στιγμή της ζωής του εντάλματος, για κάθε πιθανή χρηματιστηριακή τιμή και αξίωση εγγύησης». Δυστυχώς, ο CAPM δεν μπόρεσε να εκπληρώσει την απαίτηση της τιμολόγησης του warrant.
Η Black-Scholes παραμένει το πρώτο μοντέλο, βασισμένο στην ιδέα του arbitrage, κάνοντας μια μετατόπιση των παραδειγμάτων από μοντέλα που βασίζονται σε κινδύνους (όπως το CAPM). Αυτή η νέα ανάπτυξη μοντέλου BS αντικατέστησε την ιδέα της επιστροφής κεφαλαίου CAPM με την αναγνώριση του γεγονότος ότι μια τέλεια αντισταθμισμένη θέση θα κερδίσει ένα ποσοστό χωρίς κίνδυνο. Αυτό έβγαλε τις παραλλαγές κινδύνου και επιστροφής και καθιέρωσε την έννοια του arbitrage όπου οι αποτιμήσεις πραγματοποιούνται με παραδοχές της έννοιας του κινδύνου ουδέτερου - μια αντισταθμισμένη (χωρίς κινδύνους) θέση θα πρέπει να οδηγήσει σε ένα ποσοστό απόδοσης χωρίς κινδύνους.
Η ανάπτυξη του Black-Scholes
Ας αρχίσουμε με την καθιέρωση του προβλήματος, την ποσοτικοποίησή του και την ανάπτυξη ενός πλαισίου για τη λύση του. Συνεχίζουμε με το παράδειγμά μας για την αποτίμηση της επιλογής κλήσης ATM στην IBM με τιμή άσκησης $ 155 με ένα χρόνο λήξης.
Με βάση τον βασικό ορισμό του δικαιώματος προαίρεσης, εκτός αν η τιμή της μετοχής αγγίξει το επίπεδο τιμών απεργίας, η πληρωμή παραμένει μηδενική. Μετά το επίπεδο αυτό, η απολαβή αυξάνεται γραμμικά (δηλαδή μια αύξηση του υποκείμενου σε ένα δολάριο θα αποφέρει κέρδος ενός δολαρίου από την επιλογή αγοράς).
Υποθέτοντας ότι ο αγοραστής και ο πωλητής συμφωνούν για την εύλογη αποτίμηση (συμπεριλαμβανομένης της μηδενικής τιμής), η θεωρητική δίκαιη τιμή για το συγκεκριμένο δικαίωμα αγοράς θα είναι:
- Τιμή επιλογής κλήσης = $ 0, εάν υποκείμενη <strike (κόκκινη γραφική παράσταση) τιμή επιλογής κλήσης = (υποκείμενη απεργία), εάν υποκείμενη> = απεργία (μπλε γράφημα)
Αυτό αντιπροσωπεύει την εγγενή αξία της επιλογής και φαίνεται τέλεια από την άποψη ενός αγοραστή κλήσεων. Στην κόκκινη περιοχή, τόσο ο αγοραστής όσο και ο πωλητής έχουν δίκαιη αποτίμηση (μηδενική τιμή προς τον πωλητή, μηδενική πληρωμή προς τον αγοραστή). Ωστόσο, η πρόκληση αποτίμησης ξεκινά με την μπλε περιοχή, καθώς ο αγοραστής έχει το πλεονέκτημα μιας θετικής ανταμοιβής, ενώ ο πωλητής υφίσταται ζημία (υπό τον όρο ότι η υποκείμενη τιμή υπερβαίνει την τιμή άσκησης). Αυτό είναι όπου ο αγοραστής έχει ένα πλεονέκτημα έναντι του πωλητή με μηδενική τιμή. Η τιμολόγηση πρέπει να είναι μηδενική για να αποζημιώσει τον πωλητή για τον κίνδυνο που αναλαμβάνει.
Στην πρώτη περίπτωση (κόκκινη γραφική παράσταση) θεωρητικά, ο πωλητής λαμβάνει μηδενική τιμή και υπάρχει μηδενική δυνατότητα αποπληρωμής για τον αγοραστή (δίκαιη και για τις δύο). Στην τελευταία περίπτωση (μπλε γράφημα), η διαφορά μεταξύ του υποκείμενου στοιχείου και της απεργίας πληρώνεται από τον πωλητή στον αγοραστή. Ο κίνδυνος του πωλητή καλύπτει όλη τη διάρκεια του έτους. Για παράδειγμα, η υποκείμενη τιμή των μετοχών μπορεί να κινηθεί πολύ υψηλή (πχ. Σε $ 200 σε τέσσερις μήνες) και ο πωλητής υποχρεούται να πληρώσει στον αγοραστή το διαφορικό των 45 δολαρίων.
Έτσι, βράζει:
- Η τιμή του υποκείμενου θα διασχίσει την τιμή απεργίας; Αν ναι, πόσο ψηλά μπορεί να φτάσει η υποκείμενη τιμή (όπως θα καθορίσει την πληρωμή στον αγοραστή);
Αυτό υποδεικνύει το μεγάλο ρίσκο που έχει ο πωλητής, το οποίο οδηγεί στο ερώτημα-γιατί θα μπορούσε κάποιος να πουλήσει μια τέτοια κλήση, αν δεν πάρει τίποτα για τον κίνδυνο που παίρνει;
Στόχος μας είναι να φτάσουμε σε μια ενιαία τιμή που ο πωλητής πρέπει να χρεώσει τον αγοραστή, ο οποίος μπορεί να τον αντισταθμίσει για τον συνολικό κίνδυνο που αναλαμβάνει για ένα χρόνο - τόσο στην περιοχή μηδενικής πληρωμής (κόκκινη) όσο και στην περιοχή γραμμικής πληρωμής (μπλε). Η τιμή πρέπει να είναι δίκαιη και αποδεκτή τόσο από τον αγοραστή όσο και από τον πωλητή. Αν όχι, τότε αυτός που βρίσκεται σε μειονεκτική θέση όσον αφορά την πληρωμή ή τη λήψη αθέμιτων τιμών δεν θα συμμετάσχει στην αγορά, αποτρέποντας έτσι τον σκοπό της εμπορικής δραστηριότητας. Το μοντέλο Black-Scholes έχει ως στόχο να καθορίσει αυτή τη δίκαιη τιμή εξετάζοντας τη διακύμανση της σταθερής τιμής του αποθέματος, την αξία του χρήματος κατά τη διάρκεια του χρόνου, την τιμή άσκησης του δικαιώματος προαίρεσης και τον χρόνο λήξης του δικαιώματος. Παρόμοια με το μοντέλο BS, ας δούμε πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε την αξιολόγηση αυτού του παραδείγματος χρησιμοποιώντας τις δικές μας μεθόδους.
Πώς να αξιολογήσετε την εσωτερική αξία στην περιοχή της μπλε;
Δύο μέθοδοι είναι διαθέσιμες για την πρόβλεψη της αναμενόμενης μεταβολής των τιμών στο μέλλον κατά τη διάρκεια ενός δεδομένου χρονικού πλαισίου:
- Μπορούμε να αναλύσουμε παρόμοιες κινήσεις τιμών της ίδιας διάρκειας στο πρόσφατο παρελθόν. Η ιστορική τιμή κλεισίματος της IBM δείχνει ότι το τελευταίο ένα έτος (2 Ιανουαρίου 2014 έως 31 Δεκεμβρίου 2014), η τιμή μειώθηκε στα $ 160, 44 από $ 185, 53, δηλαδή μείωση 13, 5%. Μπορούμε να ολοκληρώσουμε μια μετακίνηση τιμής -13, 5% για την IBM; Ένας περαιτέρω λεπτομερής έλεγχος δείχνει ότι έφθασε στο ετήσιο υψηλό των $ 199, 21 (στις 10 Απριλίου 2014) και ένα ετήσιο χαμηλό των $ 150, 5 (στις 16 Δεκεμβρίου 2014). Με βάση αυτά την ημέρα έναρξης, 2 Ιανουαρίου 2014, και την τιμή κλεισίματος των 185, 53 δολαρίων, η ποσοστιαία μεταβολή κυμαίνεται από + 7, 37% έως -18, 88%. Τώρα, το εύρος διακύμανσης φαίνεται πολύ μεγαλύτερο σε σύγκριση με την προηγούμενη υπολογισμένη πτώση του 13, 5%.
Παρόμοιες αναλύσεις και παρατηρήσεις σε ιστορικά δεδομένα μπορούν να συνεχιστούν. Για να συνεχίσουμε την εξέλιξη του μοντέλου τιμολόγησης, ας υποθέσουμε αυτή την απλή μεθοδολογία για να μετρήσουμε τις μελλοντικές διακυμάνσεις των τιμών.
Ας υποθέσουμε ότι η IBM αυξάνεται κατά 10% κάθε χρόνο (με βάση τα ιστορικά δεδομένα των τελευταίων 20 ετών). Τα βασικά στατιστικά στοιχεία δείχνουν ότι η πιθανότητα αλλαγής της τιμής των μετοχών της IBM να κυμαίνεται γύρω στο + 10% θα είναι πολύ υψηλότερη από την πιθανότητα να αυξηθεί η τιμή της IBM κατά 20% ή να μειωθεί κατά 30%, αν υποτεθεί ότι τα ιστορικά μοντέλα επαναλαμβάνονται. Συλλέγοντας παρόμοια ιστορικά δεδομένα με τιμές πιθανότητας, μια συνολική αναμενόμενη απόδοση της τιμής της μετοχής της IBM σε χρονικό διάστημα ενός έτους μπορεί να υπολογιστεί ως σταθμισμένος μέσος όρος πιθανοτήτων και σχετικών αποδόσεων. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι τα ιστορικά δεδομένα τιμών της IBM δείχνουν τις ακόλουθες κινήσεις:
- (-10%) σε 25% των χρόνων, + 10% σε 35%, + 15% σε 20%, + 20% σε 10% των χρόνων, + 25% σε 5% φορές και (-15%) σε 5% φορές.
Ως εκ τούτου, ο σταθμισμένος μέσος όρος (ή η αναμενόμενη τιμή) έρχεται σε:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5 %
Δηλαδή, κατά μέσο όρο, η τιμή του αποθέματος της IBM αναμένεται να επιστρέψει + 6, 5% σε ένα χρόνο για κάθε δολάριο. Αν κάποιος αγοράσει το απόθεμα IBM με ορίζοντα ενός έτους και τιμή αγοράς $ 155, μπορεί κανείς να αναμένει καθαρή απόδοση 155 * 6, 5% = 10, 075 δολάρια.
Ωστόσο, αυτό είναι για την επιστροφή μετοχών. Πρέπει να αναζητήσουμε παρόμοιες αναμενόμενες αποδόσεις για την επιλογή κλήσης.
Με βάση τη μηδενική αποπληρωμή της κλήσης κάτω από την τιμή προειδοποίησης (υπάρχουσα κλήση των $ 155 - ATM), όλες οι αρνητικές κινήσεις θα δημιουργήσουν μηδενικές αποδοχές, ενώ όλες οι θετικές κινήσεις πάνω από την τιμή προειδοποίησης θα δημιουργήσουν ισοδύναμη αποπληρωμή. Η αναμενόμενη απόδοση για την επιλογή αγοράς θα είναι:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5 %
Δηλαδή, για κάθε $ 100 που επενδύεται στην αγορά αυτής της επιλογής, μπορεί κανείς να περιμένει $ 9, 75 (με βάση τις παραπάνω παραδοχές).
Ωστόσο, αυτό εξακολουθεί να περιορίζεται στη δίκαιη αποτίμηση του εγγενούς ποσού της προαίρεσης και δεν καταγράφει σωστά τον κίνδυνο που βαρύνει τον πωλητή δικαιωμάτων προαίρεσης για τις υψηλές ταλαντεύσεις που μπορεί να προκύψουν ενδιάμεσα (στην περίπτωση των προαναφερθέντων ετών σε υψηλό και χαμηλό επίπεδο τιμές). Εκτός από την εγγενή αξία, ποια τιμή μπορεί να συμφωνηθεί από τον αγοραστή και τον πωλητή, έτσι ώστε ο πωλητής να αποζημιωθεί με δίκαιο τρόπο για τον κίνδυνο που αναλαμβάνει το χρονικό διάστημα ενός έτους;
Αυτές οι κούνιες μπορεί να ποικίλλουν ευρέως και ο πωλητής μπορεί να έχει τη δική του ερμηνεία για το πόσο θέλει να του αποζημιωθεί. Το μοντέλο Black-Scholes υιοθετεί επιλογές ευρωπαϊκού τύπου, δηλ. Καμία άσκηση πριν από την ημερομηνία λήξης. Συνεπώς, παραμένει ανεπηρέαστη από τις ενδιάμεσες διακυμάνσεις των τιμών και βασίζει την αποτίμησή της στις ημέρες συναλλαγής από το ένα στο άλλο.
Σε συναλλαγές πραγματικών ημερών, αυτή η αστάθεια διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στον καθορισμό των τιμών δικαιωμάτων προαίρεσης. Η μπλε λειτουργία πληρωμής που βλέπουμε συνήθως είναι στην πραγματικότητα η πληρωμή κατά την ημερομηνία λήξης. Ρεαλιστικά, η τιμή επιλογής (ροζ γράφημα) είναι πάντα υψηλότερη από την πληρωμή (μπλε γράφημα), αναφέροντας την τιμή που έλαβε ο πωλητής για να αντισταθμίσει τις ικανότητες λήψης κινδύνου. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η τιμή δικαιωμάτων προαίρεσης είναι επίσης γνωστή ως η επιλογή "premium", που δείχνει ουσιαστικά το ασφάλιστρο κινδύνου.
Αυτό μπορεί να συμπεριληφθεί στο μοντέλο αποτίμησης μας, ανάλογα με την αναμενόμενη μεταβλητότητα στην τιμή των μετοχών και την αναμενόμενη αξία που θα αποφέρει.
Το μοντέλο Black-Scholes το κάνει αποτελεσματικά (βέβαια, με τις δικές του υποθέσεις) ως εξής:
C = SXN (d1) -Xxe-rTN (d2)
Το μοντέλο BS υποθέτει φυσιολογική κατανομή των κινήσεων των τιμών των μετοχών, γεγονός που δικαιολογεί τη χρήση των Ν (d1) και N (d2).
- Στο πρώτο μέρος, το S υποδεικνύει την τρέχουσα τιμή του αποθέματος. Το Ν (d1) υποδεικνύει την πιθανότητα της τρέχουσας μεταβολής των τιμών του αποθέματος.
Αν αυτή η επιλογή πηγαίνει σε χρήματα επιτρέποντας στον αγοραστή να ασκήσει αυτή την επιλογή, θα πάρει μία μετοχή από το υποκείμενο αποθετήριο της IBM. Εάν ο έμπορος το ασκεί σήμερα, τότε το S * N (d1) αντιπροσωπεύει την τρέχουσα αναμενόμενη αξία της επιλογής.
Στο δεύτερο μέρος, το Χ υποδεικνύει την τιμή απεργίας.
- Ν (d2) αντιπροσωπεύει την πιθανότητα η τιμή της μετοχής να είναι πάνω από την τιμή άσκησης. Έτσι X * N (d2) αντιπροσωπεύει την αναμενόμενη τιμή της τιμής της μετοχής που παραμένει πάνω από την τιμή άσκησης.
Καθώς το μοντέλο Black-Scholes υιοθετεί επιλογές ευρωπαϊκού στυλ όπου η άσκηση είναι δυνατή μόνο στο τέλος, η αναμενόμενη τιμή που αναπαριστάται παραπάνω από το Χ * Ν (d2) θα πρέπει να προεξοφληθεί για την χρονική αξία του χρήματος. Επομένως, το τελευταίο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον εκθετικό όρο που αυξάνεται με το επιτόκιο κατά τη χρονική περίοδο.
Η καθαρή διαφορά των δύο όρων υποδηλώνει την τιμή τιμής της προτίμησης από σήμερα (όπου ο δεύτερος όρος είναι προεξοφλημένος)
Στο πλαίσιο μας, τέτοιες κινήσεις τιμών μπορούν να συμπεριληφθούν με μεγαλύτερη ακρίβεια με πολλούς τρόπους:
- Περαιτέρω εξειδίκευση των αναμενόμενων υπολογισμών επιστροφής με επέκταση του εύρους στα καλύτερα χρονικά διαστήματα ώστε να συμπεριληφθούν οι κινήσεις τιμών εντός και εκτός της ημέρας Συμπερίληψη των σημερινών δεδομένων της αγοράς, καθώς αντικατοπτρίζει τη δραστηριότητα της τρέχουσας ημέρας (παρόμοια με την τεκμαρτή μεταβλητότητα) Αναμενόμενες αποδόσεις κατά την ημερομηνία λήξης, να αποδεσμευτούν μέχρι σήμερα για ρεαλιστικές αποτιμήσεις και να μειωθούν περαιτέρω από την τρέχουσα αξία
Έτσι, βλέπουμε ότι δεν υπάρχει όριο στις παραδοχές, τις μεθοδολογίες και την προσαρμογή που πρέπει να επιλεγούν για ποσοτική ανάλυση. Ανάλογα με το προς διαπραγμάτευση περιουσιακό στοιχείο ή την επένδυση που πρέπει να ληφθεί υπόψη, μπορεί να γίνει επεξεργασία ενός αυτοδιαμορφωμένου μοντέλου. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η αστάθεια των κινήσεων των τιμών των διαφόρων κατηγοριών περιουσιακών στοιχείων ποικίλλει πολύ-οι μετοχές έχουν ασυμμετρία μεταβλητότητας, το forex έχει αστάθεια μεταβλητότητας - και οι χρήστες θα πρέπει να ενσωματώσουν τα εφαρμόσιμα πρότυπα μεταβλητότητας στα μοντέλα τους. Οι παραδοχές και τα μειονεκτήματα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος οποιουδήποτε μοντέλου και η γνώση των μοντέλων σε σενάρια συναλλαγών σε πραγματικό κόσμο μπορεί να αποφέρει καλύτερα αποτελέσματα.
Η κατώτατη γραμμή
Με σύνθετα περιουσιακά στοιχεία που εισέρχονται στις αγορές ή ακόμη και απλά περιουσιακά στοιχεία βανίλιας που εισέρχονται σε πολύπλοκες μορφές συναλλαγών, η ποσοτική μοντελοποίηση και ανάλυση καθίσταται υποχρεωτική για την αποτίμηση. Δυστυχώς, κανένα μαθηματικό μοντέλο δεν έρχεται χωρίς μια σειρά μειονεκτημάτων και παραδοχών. Η καλύτερη προσέγγιση είναι να διατηρήσουμε τις παραδοχές στο ελάχιστο και να γνωρίζουμε τα σιωπηρά μειονεκτήματα, τα οποία μπορούν να βοηθήσουν στην εκπόνηση των γραμμών σχετικά με τη χρήση και την εφαρμογή των μοντέλων.
